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最新高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试题附答案解析DOC免费下载

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第三章《三角恒等变换》测试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分).
1.sin2π12-cos2π12的值为(    )
A.-12               B.12               C.-32                 D.32
2.函数f(x)=sinxcosx+32cos2x的最小正周期和振幅分别是(    )
A.π,1                B.π,2            C.2π,1                D.2π,2
3. 3cos10°-1sin170°= (    )
A.4                    B.2                 C.-2                   D.-4
4.设a=12cos6° -32sin6°,b=2sin13°cos13°,c=1-cos50°2,则有(   )
A.a>b>c                 B.a<b <c           C.b<c<a                    D.a<c<b
5.若sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=45,且α是第二象限角,则tan(π4+α)等于(   )
A.7                     B.-7             C.17                       D.-17
6. tanθ和tan(π4-θ)是方程x2+px+q=0的两根,则p、q之间的关系是(    )

A.1                    B.1+32            C.32                       D.1+3
10.已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则log5(tanαtanβ)2等于 (   )
A.2                      B.3              C.4                 D.5
二、填空题(每小题6分,共计24分).         
11.设α为锐角,若cosα+π6=45,则sin2α+π12的值为___     ___.
12.函数f(x)=1+tanxcos2xcos2x+sin2x的定义域为(0,π4),则函数f(x)的值域为_____ ___.
13.设α、 β∈(0,π),且sin(α+β)=513,tanα2=12,则cosβ的值为________.
14.在一次考试中,由于不慎,致使一选择题已知条件被黑色墨水覆盖,原题为:已知α、β均为锐角,且sinα-sinβ=-12,___   _____,则tan(α-β)的值为             
A.73                  B.37                C.-73                D. -37
其中________为覆盖部分,试根据所附答案为C,推断并补出被覆盖部分.
三、解答题(共76分).
15.(本题满分12分)设A、B、C为△ABC的三个内角,且x2-xsinAcosB+sinC=0的两根为α、β,且
α+β=12αβ,判断△ABC的形状.

16.(本题满分12分)已知1cosα-β+1cosα+β=2cosα,且α,β为锐角.求cosαcosβ2的值.

17.(本题满分12分)将形如a11a21 a12a22的符号称二阶行列式,现规定a11a21 a12a22
=a11a22-a12a21.
(1)试计算二阶行列式cosπ4  1 1  cosπ3;
(2)若已知函数f(θ)=cosθ12 sinθsin7π3=22,求锐角θ的值.

19.(本题满分14分)设函数f(x)=c os(2x+π3)+sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
(2)设A、B、C为△ABC的三个内角,若cosB=13,f(C2)=-14,且C为锐角,求sinA.

20.(本题满分14分)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=2,求证:a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α、 β的值.


第三章《 三角恒等变换》测试题参考答案
一、选择题
1.【答案】 C
【解析】 原式=-(cos2π12-sin2π12) =-cosπ6=-32.
2.【答案】 A
【解析】f(x)=12sin2x+32cos2x=sin(2x+π3),周期T=π,振幅为1,故选A.
3.【答案】 D
n25°. ∵sin24°<sin25°<sin26°,∴a<c<b.
5.【答案】 C
【解析】∵sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=45, ∴cosα=-45,又α 是第二象限角,∴sinα=35
则tanα=-34.,∴tan(α+π4)=tanπ4+tanα1-tanπ4tanα=1-341+34=17.
6.【答案】 D
【解析】根据根与系数之间的关系可得tan(π4-θ)+tanθ=-p,tan(π4-θ)tanθ=q,∴tan(π4-θ+θ)=tanπ4-θ+tanθ1-tanπ4-θtanθ=-p1-q,即tanπ4=-p1-q=1,∴p-q+1=0.
7.【答案】A.
【解析】原式=s in6°·cos12°·cos24°·cos48° =2cos6°·sin6°·cos12°·cos24°·cos48°2cos6°
=sin12°·cos12°·cos24°·cos48°2cos6° =sin24°·cos24°·cos48°4cos6° =sin48°·cos48°8cos6°=sin96°16cos6°=cos6°16cos6°=116.
8.【答案】 B
【解析】本题考查三角恒等变换,“弦”化“切”.由sinα+cosαsinα-cosα=12得tanα+1tanα-1=12即2tanα+2=tanα-1,
∴tanα=-3,∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×-31--32=-6-8=34,“弦”化“切”,“切”化“弦”都体现了转化与化归思想.
9.【答案】C. [来源:学科网]
【解析】 f(x)=sin2x+3sinxcos x=1-cos2x2+32sin2x=sin(2x-π6)+12. ∵π4≤x≤π2,
∴π3≤2x-π6≤56π, ∴12≤sin(2x-π6)≤1. ∴f(x)max=1+12=32.
10.【答案】 C
【解析】由sin(α+β)=12,sin(α-β)=13得 sinαcosβ+cosαsinβ=12sinαcosβ-cosαsinβ=13,∴sinαcosβ=512cosαsinβ=112, ∴tanαtanβ=5,
∴log5(tanαtanβ)2=log552=4.
二、填空题
11.【答案】 17250
【解析】 ∵α为锐角,∴π6<α+π6<2π3,∵cosα+π6=45,∴sinα+π6=35;
∴sin2α+π3=2sinα+π6cosα+π6=2425,cos(2α+π3)=cos(α+π6)2-sin2(α+π6)=725
∴sin2α+π12=sin2α+π3-π4=sin2α-π3cosπ4-cos2α+π3sinπ4=17250.
sinC=0的两根,
∴α+β=sinAcosB,αβ=sinC.
又α+β=12αβ,
∴2sinAcosB=sinC,
∴2sinAcosB=sin[π-(A+B)],
∴2sinAcosB=sin(A+B),
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,
即sin(A-B)=0.
又0<A<π,0<B<π,
∴-π<A-B<π,∴A-B=0,即A=B,
∴△ABC为等腰三角形.
16. 解:∵2cosα=1cosα-β+1cosα+β =cosα+β+cosα-βcosα-βcosα+β =2cosαcosβ12cos2α+cos2β∴2cosα=4cosαcosβcos2α+cos2β,
即cos2α+cos2β=2cos2αcosβ,
∴2cos2α-1+2cos2β-1=2cos2αcosβ,
cos2α(1-cosβ)=1-cos2β,又β为锐角,
∴cos2α=1+cosβ,∴cos2α=2cos2β2.
又α,β为锐角,∴cosαcosβ2=2.
17. 解:(1)由题中规定的运算法则得:cosπ4  1 1  cosπ3=cosπ4cosπ3-1=24-1.
(2)cosθ12 sinθsin7π3=sin7π3cosθ-12si nθ
=sinπ3cosθ-cosπ3sinθ=sinπ3-θ.
依题意,有sinπ3-θ=22.而θ∈0,π2,
∴π3-θ∈-π6,π3,
∴π3-θ=π4,∴θ=π12.
18. 解: (1)由题意得f(x)=3sin2x+(sinx+cosx)·(si nx-cosx)=3sin2x-cos2x=2sin(2x-π6),
故f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)由(1)知,f(θ)=2sin(2θ-π6),若f(θ)=3,
则sin(2θ-π6)=32.
又因为0<θ<π2,所以-π6<2θ-π6<5π6,则2θ-π6=π3或2θ-π6=2π3,故θ=π4或θ=5π12.
当θ
又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,
故a⊥b.
(2)因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),
所以cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,
由此得,cosα=cos(π-β),
由0<β<π,得0<π-β<π,
又0<α<π,故α =π-β.代入sinα+sinβ=1得,




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